优选数学公式宝典2023版

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支持的公式类型

几何

代数

三角学

方程

解析几何

衍生物

不可缺少的

矩阵

概率与统计

转换

单位换算

数学家介绍

泰雷兹

泰勒斯从公元前624年到公元前547年对数学的划时代贡献是提出了命题证明的思想。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论，这是数学史上一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明的重要意义是：保证命题的正确性；揭示定理之间的内在联系，使数学形成严密的体系，为进一步发展奠定基础；使数学命题完全令人信服有力、令人信服。数学上，泰勒斯定理以他的名字命名，该定理指出：如果A、B、C是圆圆周上的三点，AC是圆的直径，那么LABC一定是直角。换句话说，直径所夹的圆周角是直角。这个定理在欧几里得《几何原本》第三卷中被提及并证明。泰勒斯定理的逆命题也成立，即：在直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

必备50条公式和结论

1、适用条件：【直线通过焦点】，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴的夹角焦点位于，它是一个锐角。 x是分离比，必须大于1。注意，上面的公式适用于所有圆锥截面。如果焦点内分（指焦点在截取的线段上），则使用此公式；如果向外分割（重点是截取线段的延长线），则右侧为（x+1）/（x-1），另一侧不变。

2、函数的周期性问题（熟记三个）：

1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k；

2、若f(x)=m/(x+k)（m不为0），则T=2k；

3.如果f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。注：a.对于周期函数，周期必须是无限的。 b.周期函数可能没有最小周期，例如常数函数。 C。周期函数与周期函数相加不一定是周期函数，例如：x与y=sinxy=sin相加就不是周期函数。

3、关于对称性问题（无数人想不通的问题），总结如下：

1、若在R上（下同）：f(a+x)=f(b-x)始终为真，则对称轴为x=(a+b)/2；

2、函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称；

3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)的像关于(a,b)的中心对称

4、功能奇偶性：

1. 对于R上的奇函数，f(0)=0；

2. 对于包含参数的函数，奇函数没有偶次项，偶函数没有奇次项。

3、奇偶校验作用不大，一般用于填空。

5、数爆炸定律：

1、等差数列中：S odd=na，例如S13=13a7（13和7为下标）；

2个算术数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)构成算术差

3、在等比数列中，当公比不为负1时，上述2项是成比例的，但当q=-1时，则不一定成立。

4、等比数列的爆炸强度公式：S(n+m)=S(m)+q?mS(n)可以快速求出q

6.序列的终极武器，特征根方程。 （如果看不懂，就算了）。

首先介绍公式：对于an+1=pan+q（n+1为下标，n为下标），a1已知，则特征根x=q/(1-p)，则通式为序列为an=(a1-x)p?(n-1)+x，这是一阶特征根方程的应用。第二级有点麻烦，不常用。所以我不会详细介绍。希望同学们牢记上面的公式。当然，这种类型的数列是可以构造的（两边的数字同时相加）

7、功能详细说明：

1、复合函数的奇偶性：里面是偶数则为偶数，里面为奇数则与外面相同。

2.复合函数的单调性：同增异减

3.关于三次函数的关键知识：恐怕没有多少人知道三次函数曲线实际上是中心对称图形。它有一个对称中心。方法是求二阶导数，然后导数为0。根x为中心横坐标。可以通过将x 带入原始函数来定义纵坐标。此外，必须有一条穿过中心且与两侧相切的直线。

8.常用数列bn=n a 2

9、爆炸强度公式适用于标准方程（关注x轴）：k椭圆=-{(b?)xo/{(a?)yok double={(b?)xo}/{(a?)yok 投掷=p/yo

注：(xo,yo) 是穿过圆锥曲线的直线所切线段的中点。

10. 强烈建议两条直线相互垂直或平行：

已知直线L1：a1x+b1y+c1=0，直线L2：a2x+b2y+c2=0。

若垂直：（充要条件）a1a2+b1b2=0；

如果平行：（充分必要条件）a1b2=a2b1且a1c2a2c1【这个条件是为了防止两条直线重叠）

注意：上面两个公式避免了坡度是否存在的麻烦，直接杀掉！

11、经典中的经典：邻居取消相信大家都知道。

让我们看看隔膜抵消： 对于Sn=1/(13)+1/(24)+1/(35)+…+1/[n(n+2)]=1/2 [ 1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：添加替代术语时，保留四个术语，即前两项和后两项。自己把公式写在草稿纸上，看起来清新又工整！

12、爆炸强度面积公式：S=1/2mq-np其中矢量AB=(m,n)，矢量BC=(p,q)

注意：这个公式可以解决求给定三角形三点坐标面积的问题！

13.你知道吗？在空间立体几何中，下列命题都是错误的：

1、空间中的三个不同点确定一个平面；

2、垂直于同一条直线的两条直线平行；

3、两组对边相等的四边形是平行四边形；

4、如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则该直线垂直于该平面；

5、两个面相互平行且其他面均为平行四边形的几何体是棱柱；

6.一个面为多边形，其他面均为三角形的几何体是金字塔。注：不适用于初中生。

14.一个小知识点：所有边长相等的金字塔可以是三棱锥、四棱锥或五棱锥。

15. 求f(x)=x-1+x-2+x-3+…+x-n（n 为正整数）的最小值。

答案是：当n为奇数时，最小值为(n?-1)/4，即x=(n+1)/2时得到；当n为偶数时，最小值为n/4，这是当xn/2或n/2+1时获得的。

16.[(a?+b?)]/2(a+b)/2ab2ab/(a+b)（a、b为正数，为统一域）

17、焦点三角形在椭圆中的面积公式：S=b?tan(A/2)，在双曲线中：S=b?/tan(A/2)。注：适用于以x 轴为焦点的标准圆锥曲线。 A是两个焦点半径之间的角度。

18.爆炸强度定理：解决所有问题的空间向量三个公式：cosA=|{向量a.向量b}/[向量a的模向量b的模]|一：A为线与线之间的夹角，二：A为线-面夹角（但公式中cos被sin代替）三：A为面-面夹角注：以上夹角的范围为[0,帕/2]。

19.爆炸配方

1?+2?+3?+…+n?=1/6(n)(n+1)(2n+1);

1?3+2?3+3?3+…+n?3=1/4(n?)(n+1)?

20、记忆爆炸强度正切方程的方法：写成对称形式，改变x和y。例如：对于y?=2px，可以写成yy=px+px，然后将(xo,yo)代入其中之一，得到：yyo=pxo+px

21.爆炸强度定理：(a+b+c)？ n的展开式[合并后]的项数为：Cn+22，n+2在底部，2在顶部

22、【思路转化】切线长度l=(d?-r?)d表示圆外一点到圆心的距离，r为圆的半径，d为最小值圆心到直线的距离。

23.对于y？=2px，通过焦点相互垂直的两条弦AB和CD之和至少为8p。

爆炸强度定理证明：对于y?=2px，设通过焦点的弦的倾斜角度为A，则弦长可表示为2p/[(sinA)?]，因此垂直于是2p/[(cosA )?]，所以根据三角知识可以知道其和。 （题意是弦AB经过焦点，CD经过焦点，AB垂直于CD）

24.一个重要的绝对值不等式简介：|a|-|b|aba+b

25. 关于解决包含ln 的不等式的想法，爆炸性很强：

例：证明1+1/2+1/3+…+1/nln(n+1)，左边视为1/n之和，右边视为Sn。

解：设an=1/n，设Sn=ln(n+1)，则bn=ln(n+1)-lnn，则只需证明anbn，根据知识画出y=1/x定积分图片。 an=11/n=曲线下的矩形面积面积=bn。当然，之前我们需要证明1ln2。

注：仅供有能力的孩子参考！另外，这种方法还可以推广，即将左右两边看成序列之和，可以证明面积大小。

注：前提是包含ln。

26、爆炸强度简明公式：矢量a在矢量b上的投影为：[矢量a矢量b的量积]/[矢量b的模]。

记忆方法：哪个投影除以哪个模块

27.解释一个容易出错的点：如果f(x+a)[a任意]是奇函数，那么结论是f(x+a)=-f(-x+a)[右边方程的不是-f (-x-a)]，类似地，如果f(x+a) 是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a) 记住！

28、偏心爆炸强度公式：e=sinA/(sinM+sinN)

注：P 为椭圆上的一点，A 为角F1PF2，两个腰角为M 和N。

29、椭圆的参数方程也是个好东西，它可以解决一些最优值问题。

例如，x?/4+y?=1 求出z=x+y的最大值。

解：设x=2cosay=sina，然后用三角形作界。不知道比你去=0快多少倍！

30、【仅供有能力的童鞋参考】】

爆炸公式：

和差积

sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

产品之和与差

sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2

coscos=[cos(+)+cos(-)]/2

sincos=[sin(+)+sin(-)]/2

cossin=[sin(+)-sin(-)]/2

31、爆炸强度定理：直观图的面积是原图的2/4倍。

32、三角形垂心爆炸强度定理：

1、矢量OH=矢量OA+矢量OB+矢量OC（O为三角形外心，H为垂心）

2、如果一个三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图上，那么它的纵心也在这个函数的图上。

33、维维亚尼定理（不是很重要（仅供娱乐）），——等边三角形内（或边界上）任意一点到三边的距离之和是一个固定值，这个固定值等于三角形的高度。

34、爆炸思路：如果两个根x1x2=m的乘积和两个根x1+x2=n的和，我们应该形成一个想法，即回去构造一个二次函数，然后用大于或等于0，即可得到m和n的范围。

35、常用结论：经过(2p,0)的直线与抛物线y?=2px相交于A、B两点。O为原点，连到AO.BO。一定有一个角AOB=90度

36、爆炸强度公式：ln(x+1)x(x-1) 该公式可以有效解决证明不等式的问题。

示例： ln(1/(2?)+1)+ln(1/(3?)+1)+…+ln(1/(n?)+1)1(n2)

证明如下：设x=1/(n?)，根据ln(x+1)x，将左右和相加，然后缩放：左和1-1/n1得证！

37. 函数y=(sinx)/x 是偶函数。它在(0, pi) 上单调递减，在(- pi, 0) 上单调递增。上述属性可用于比较大小。

38. 函数y=(lnx)/x 在(0, e) 上单调增加，在(e, + 无穷大) 上单调减少。另外，y=x?(1/x)与函数的单调性一致。

39、数学中的几个常见错误：

1、f`(x)0是函数在域内单调递减的充分非必要条件；

2.在研究函数的奇偶性时，忽略第一步也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！

3、使用不等式时，一定要考虑‘=’符号是否得到！

4、研究数列问题时，不要考虑分项。这意味着有时第一项不符合通式，所以你应该极其小心：在研究序列问题时，你必须考虑是否需要子项！

40. 提高计算能力的五个步骤：

1.扔掉计算器；

2、仔细审题（建议慢慢看题，快速做题）。要知道，如果你不把题看清楚，你算再多也是没有用的！

3、记忆常用数据，掌握一些快速计算技巧；

4、加强心算和估计能力； 5.【测试】！

41. 一个美妙的公式.爆炸！已知AB=a，AC=b，O为三角形中三角形的外心，则向量AO向量BC（即量积）=（1/2）[b？ -a？] 强烈推荐！证明：画一条垂直于O 的BC 并将其变换到已知边

42. 函数单调性的含义：大多数同学都知道，如果一个函数在区间D上单调，则函数值会随着自变量的增大（减小）而增大（减小），但有些人可能有一定的意义。目前还不是很清楚。如果函数在D 上单调，则函数必须是连续的（分段函数是另一回事）。这也解释了为什么y=tanx在定义域上不能说是单调递增的，因为它的图像是由无限条线渐近绘制的。这条线是阻塞的，换句话说，是不连续的。另外，如果函数在D 上单调，则函数y 和x 在D 上一一对应。这可以用来求解一些方程。至于例子，我就不举例了。

函数周期：这里主要总结一些函数方程所要表达的周期。设f(x)为R上的函数。对于任意xR(1)f(ax)=f(bx)T=(b-a)（加上绝对值，下同） (2)f (ax)=-f(bx)T=2(b-a)(3)f(x-a)+f(x+a)=f( x)T=6a(4) 假设T0，f (x+T)=M[f(x)]，其中M(x) 满足M[M(x)]=x，且M(x) x，则函数的周期为2

43.奇偶函数概念的推广：

(1) 对于函数f(x)，若存在常数a使得f(a-x)=f(a+x)，则f(x)称为广义(I)型偶函数，且当有两个不同的实数a和b满足时，f(x)是周期函数T=2(b-a)

(2) 若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)为广义(I)型奇函数。当有两个不同的实数a和b时，f(x)是周期性的。函数T=2(b-a)

(3) 当有两个实数a、b满足广义奇偶函数方程时，称f(x)为广义(II)型奇函数或偶函数。如果f(x) 是广义类型(II) 的偶函数，则当f 是[a+b/2,) 上的增函数时，f(x1)f(x2) 等价于绝对值x1 -(a+b p=''='' 2) 绝对值x2-(a+b)=''

44.函数对称性：

(1) 如果f(x) 满足f(a+x)+f(b-x)=c，则函数关于(a+b/2, c/2) 中心对称(2) 如果f(x) 满足f( a+x)=f(b-x)，则函数关于直线x=a+b/2 轴对称 柯西函数方程：若f(x) 连续或单调(1) 若f(xy )=f(x) +f(y)(x0,y0)，则f(x)=ax

(2) 若f(xy)=f(x)f(y)(x0,y0)，则f(x)=x?u（u由初始值给定）

(3)f(x+y)=f(x)f(y)则f(x)=a?x

(4) 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，则f(x)=ax2+bx (5) 若f(x+y)+f(x-y)=2f( x)，则f(x)=ax+b。特别地，如果f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)=kx

45.与三角形有关的定理或结论。中学数学中平面几何最基本的图形是三角形。

正切定理（我自己取的，因为不知道名字）：在非Rt中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

任意三角形投影定理（又称第一余弦定理）：ABC中a=bcosC+ccosB； b=ccosA+acosC； c=acosB+bcosA

任意三角形的内切圆半径为r=2S/a+b+c（S为面积），外接圆半径应该已知吧？

墨涅劳斯定理：设A1、B1、C1分别是ABC、BC、CA、AB三边所在直线上的点。那么A1、B1、C1共线的充要条件是CB1/B1ABA1/A1CAC1/C1B=1

44. 常见错误：

函数各种性质的综合应用不够灵活。例如，奇偶性和单调性常用于解决抽象函数不等式问题；

三角函数的恒等变换不清楚，归纳公式速度不快。

45. 常见错误：

忽略三角函数的有界性和三角形角度的限制。例如，在三角形中，两个角的正切值不可能同时为负值；

三角形的平移变换不清楚。解释一下：从y=sinx到y=sinwx的步骤就是将横坐标改为原来值的1/w倍。

46.容易出错的点：在数列求和中，常用的错位减法总是不小心算错了。如何避免：写第二步时，提出公差，将括号内的等比数列求和，最后去掉系数； 6、序列中常用的变形公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]求和保留四项

47. 常见错误：

序列不考虑a1是否符合基于sn-sn-1得到的通式；

序列不是所有实数的简单函数。即在序列最优值的推导和研究过程中注意问题是否得到。

48、易错点：向量的运算并不完全等价于代数运算； 10. 对向量的模求平方后，忘记平方根。比如这类选择题中经常会出现2、2这样的答案……基本上我都是选择2。我之所以选择2是因为没有平方根； 11. 复数的几何意义不清楚。

49、关于辅助角公式：asint+bcost=[(a?+b?)]sin(t+m) 其中tanm=b/a[条件：a0]

注：有些同学习惯考虑sinm或cosm来确定m。我个人认为这样太容易出错了。最好的方法是根据tanm 确定m（见上文）。例如：sinx+3cosx=2sin(x+m)，因为tanm=3，所以m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)

50、A和B是椭圆x/a+y/b1上的任意两点。如果OA垂直于OB，则1/OA?+1/OB?=1/a?+1/b?